Groupes, anneaux, corps
ALGÈBRE
POUR LA LICENCE 3
Table des matières
INTRODUCTION V
CHAPITRE 1 • L’ A N N E A U Z
1.1 Défini ti ons de ba se 1
1.2 L’a nnea u Z. Di v i si on eucl i di enne 7
1.3 Algorithme d’E uclide 8
1.4 L’a nnea u Z /nZ 10
Exercices 19
CHAPITRE 2 • MODULESDETYPEFINI
2.1 Le l a nga ge des modul es 25
2.2 Ca l cul m a tri ci el sur un a nnea u p ri nci p a l 29
2.3 Modul es l i b res d e type fini 35
2.4 Modul es de type fini sur un a nnea u p ri nci p a l 38
2.5 Modul es i ndécomposa bl es 41
Exercices 46
CHAPITRE 3 • RÉ DUCTION DES ENDOMORPHISMES
3.1 L’a nnea u K [X ] 49
3.2 Pol ynôme mi ni ma l 50
3.3 E spa c es cycl i ques 52
3.4 Invariants de similitude 53
3.5 FormeréduitedeJordan 55
Exercices 60
CHAPITRE 4 • GROUPES
4.1 Généra l i tés 65
4.2 Le g roupe symétri que 68
4.3 Opéra ti on d’un groupe sur un ensembl e 71
4.4 Quel ques ex empl es l i és à l a géométri e 78
Exercices 89
CHAPITRE 5 • RACINE S DE S POLYNÔM E S
5.1 Généralités, i rréductibilité 97
5.2 Les ra ci nes réel l es 101
5.3 R ésul ta nt et di scri mi na nt 106
5.4 ∗ Foncti ons symétri ques des ra c i nes 111
Exercices 115
CHAPITRE 6 • TH É O RIE DE S CORPS
6.1 Caractéri stique 123
6.2 Groupe m ul ti pl i c a ti f 124
6.3 E x tensi ons 124
6.4 Corps de rupture 127
6.5 Corps finis 129
6.6 ∗ Compl éments 134
Exercices 141
SOLUTIONS DES EXERCICE S E T DES PROBLÈMES
Cha p i tre 1 147
Cha p i tre 2 160
Cha p i tre 3 171
Cha p i tre 4 177
Cha p i tre 5 187
Cha p i tre 6 200
RÉ FÉ RE NCE S BIBLIOGRA PH IQU E S 208
INDE X 209
ALGÈBRE
POUR LA LICENCE 3
Table des matières
INTRODUCTION V
CHAPITRE 1 • L’ A N N E A U Z
1.1 Défini ti ons de ba se 1
1.2 L’a nnea u Z. Di v i si on eucl i di enne 7
1.3 Algorithme d’E uclide 8
1.4 L’a nnea u Z /nZ 10
Exercices 19
CHAPITRE 2 • MODULESDETYPEFINI
2.1 Le l a nga ge des modul es 25
2.2 Ca l cul m a tri ci el sur un a nnea u p ri nci p a l 29
2.3 Modul es l i b res d e type fini 35
2.4 Modul es de type fini sur un a nnea u p ri nci p a l 38
2.5 Modul es i ndécomposa bl es 41
Exercices 46
CHAPITRE 3 • RÉ DUCTION DES ENDOMORPHISMES
3.1 L’a nnea u K [X ] 49
3.2 Pol ynôme mi ni ma l 50
3.3 E spa c es cycl i ques 52
3.4 Invariants de similitude 53
3.5 FormeréduitedeJordan 55
Exercices 60
CHAPITRE 4 • GROUPES
4.1 Généra l i tés 65
4.2 Le g roupe symétri que 68
4.3 Opéra ti on d’un groupe sur un ensembl e 71
4.4 Quel ques ex empl es l i és à l a géométri e 78
Exercices 89
CHAPITRE 5 • RACINE S DE S POLYNÔM E S
5.1 Généralités, i rréductibilité 97
5.2 Les ra ci nes réel l es 101
5.3 R ésul ta nt et di scri mi na nt 106
5.4 ∗ Foncti ons symétri ques des ra c i nes 111
Exercices 115
CHAPITRE 6 • TH É O RIE DE S CORPS
6.1 Caractéri stique 123
6.2 Groupe m ul ti pl i c a ti f 124
6.3 E x tensi ons 124
6.4 Corps de rupture 127
6.5 Corps finis 129
6.6 ∗ Compl éments 134
Exercices 141
SOLUTIONS DES EXERCICE S E T DES PROBLÈMES
Cha p i tre 1 147
Cha p i tre 2 160
Cha p i tre 3 171
Cha p i tre 4 177
Cha p i tre 5 187
Cha p i tre 6 200
RÉ FÉ RE NCE S BIBLIOGRA PH IQU E S 208
INDE X 209
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